Puissance en Monophasé

QCM

Rien de mieux qu'un QCM pour vérifier si vous avez compris le cours jusqu'ici.

Avant de vous lancer, je vous rappelle que ce QCM n'est là que pour vérifier si vous avez compris les bases. Donc c'est innutile de le faire à plusieurs.

Exercice 1. Calcul complexe et utilisation de la calculatrice

Calculer les valeurs efficaces des courants i1 et i2 dans les différentes branches du circuit ci-dessous. On donne les composants avec leur résistance et leur réactance.

Pour cela :

a) Exprimer l’impédance complexe de chaque branche, sous forme :

Z = R(Z) + jI(Z)

Z1 = 100 +10j Z2 = 10 – 10j

b) Puis avec la calculatrice Casio, convertir les deux impédances complexes Z sous la forme polaire :

Entrer « seconde » " « pol »"valeur de Â" « seconde » « ; » "valeur de Á "parenthèse) " « exe ».

La calculette donne r=… et q=… Faites attention à l'unité de l'angle!! (radian ou degré)

Z1 = [100.5Ω , 5.7°] Z2 = [14.14Ω ; -45°]

c) Déterminer sous forme polaire l’admittance de chaque branche Y1 et Y2. Le module de Y est l’inverse du module de Z. L’argument de Y est l’opposé de l’argument de Z.

1ère méthode (et on fait les calculs séparément) :

Le module de Y est l’inverse du module de Z (l'inverse de x, c'est 1/x)

L’argument de Y est l’opposé de l’argument de Z (l'opposé de x, c'est – x)

2ème méthode (« plus mathématique » à privilégier. On divise les modules ; on soustrait les arguments)

Retournez voir le point du cours sur les calculs d'impédances si vous avez des difficultés.

Y1 = [1 ; 0] / [100.5 ; 5.7°] = [9.95*10-3 ; -5.7°]

Y2 = [1 ; 0] / [14.14 ; -45°] = [7.07*10-2 ; 45°]

d) Calculer I1 et I2 en polaires, par .I1= Y1*V etc…

Loi d’Ohm = U = Z * I <=> I = U / Z ou I = U * Y

I1 = [100 ; 0] * [9.95*10-3 ; -5.7°] = [0.995 ; -5.7°]

I2 = [100 ; 0] * [7.07*10-2 ; 45°] = [7.07 ; 45°]

e) Passer I1 et I2 en coordonnées rectangulaires :

Entrez « seconde » " « rec »"valeur de r" « seconde » « virgule » "valeur de q" parenthèse ) " « exe ».

La calculette donne X=…(partie réelle) et Y=…(partie imaginaire). C'est plutôt cool non? Loi de nœuds : I = I1 + I2

! Il faut que I1 et I2 soit sous forme rectangulaire uniquement, pour les additions ou les soustractions. #Calculatrice

I1 = 0.52 – 0.8j

I2 = 5 + 5j

I = I1 + I2 = 5+0.52 + j(5-0.8) = 5.52 – 4.2j

f) Donner l’impédance complexe de la charge globale.

I = [6.9A ; -37.26°]

Z = V / I = [100 ; 0] / [6.9 ; -37.26] = [14.5 Ω; 37.26°]

Rappel :

Pour additionner (ou soustraire) deux complexes il faut utiliser les coordonnées rectangulaires. Pour le produit ou le quotient, ou les puissances il faut utiliser les coordonnées polaires.

g) Calculer la réactance de la charge

X = I(Z)

Z = 11,5 + 8.7j Merci la calculatrice :)

X = 8.7Ω

e) Quelle est la nature de la charge ?

X > 0 => charge globalement inductive. Attention : ici, on vous a mis toutes les questions intermédiaires, mais pour le DS, on ne vous demandera pas forcément de calculer la réactance. Essayez d'y penser, c'est le meilleur moyen pour déterminer la nature de la charge.

Exercice 2. Théorème de Boucherot

Le réseau monophasé V=400V – 50 Hz alimente les 3 charges suivantes :

Un moteur monophasé M1 400 V – 10kW – cosj = 0.85
Un moteur monophasé M2 400 V – 18kW – cosj = 0.6
Un radiateur électrique 400V – 8kW

Les puissances indiquées pour les trois charges sont des puissances électriques absorbées.

a) Déduire de la donnée de P et de cosj, la valeur de Q pour chacune des charges

La plus facile : un radiateur n’as pas de puissance réactive car c’est une résistance pure : QR = 0
Passons à M1 : on sait que P = V*I*cosφ = 10kW et que Q = V*I*sinφ. On a V. Avec la trigo, on peut retrouver sinφ mais il nous manque I. Or I = 10*103 / V*cosφ = 10*103 / 400*0.85 = 29.4A φ = sin(arccos(0.85)) = 0.52 QM1 = 400 * 29.4 * 0.52 = 6.115kVAr
Pour M2 : On fait comme pour M1 ; pour voir si vous avez copris vous n’avez que le résultat, à vous de vous débrouiller. QM2 = 24kVAr

b) Calculer les puissances active, réactive et apparente totales avec le théorème de Boucherot.

Boucherot : - Ptotal = ∑Pi = (10 + 8 + 18)*103 = 36kW

- Qtotal = ∑Qi = (24 + 6.115)*103 = 30.115kVAr

Stotal = √(P²+Q²) = √((36*103)² + (30.115*103)²) = 46.94kVA

c) En déduire le facteur de puissance global et le courant global.

cosφ = P / S = 36*103 / 46.94*103 = 0.76

S = V*I <=> I = S/V = 46.94*103 / 400 = 117A

Exercice 3. Calcul de Puissances à partir de la résistance et de la réactance

On considère un composant R, L, ou C alimenté par une source de tension alternative sinusoïdale de pulsation w et de valeur efficace V.

a) Exprimer les puissances active et réactive consommées dans R, L et C en fonction de V ou de I et compléter le tableau suivant :

b) Associations : Pour un dipôle composé de selfs, capacités et résistances, exprimer P et Q (en fonction de R et de la réactance X) dans ces 2 circuits, alimentés en sinusoïdal 50 Hz, en employant les formules vues au a) à bon escient.

Montages exercice

1) P = R*I² Q = X*I² |I| = |V| / |Z| = 141/141 = 1 A (|Z|=100 +100j Ω)

AN : P=100WQ = 100Var

On n'utilise PAS V² / X car on ne connaît pas la chute de tension aux bornes du composant !

2) P = V² / R = 1.41² / 1 = 1.988W

Q = V² / X = 1.41² / -1 = -1.988VAr

On n'utilise PAS R*I² car on ne connaît pas le courant qui traverse les branches.

Exercice 4. Analyse d’un chronogramme

Lors d’une manipulation, on obtient le relevé suivant. Le calibre est de 100 V par division pour la tension et 4A par division pour le courant. La base de temps est de 2.5 ms.

a) La charge est –elle globalement de type RL ou de type RC ?

I est en retard => on a donc une charge RL

b) Quelle est la fréquence ?

T = 12*25*103 = 3*10-2s

F = 1/T = 1/0.03 = 33.3Hz

c) Exprimer les complexes V et I en polaires

V = [226 V ; 0]

I = [2.9 A; -π/3] φ = t1 / T * 2π = π/3

d) Calculer la valeur de l’impédance complexe de la charge en polaire puis en rectangulaires

Z = V / I = [226 ; 0] / [2.9 ; -π/3] = [77.9 ; 60°] = 38.95 + 67.4j #Calculatrice

e) Représenter la charge sous forme d’une résistance R et d’une réactance (partie imaginaire de l’impédance complexe) jX en série.

f) Trouver l’élément (résistance, inductance, condensateur ? avec sa valeur) à mettre en série avec le dipôle pour obtenir un déphasage nul.

On doit ajouter un condensateur afin de retarder la tension. <=> 67.4 + X1 = 0 <=> X1 = -67.4Ω

X = -1 / Cω <=> C = 1 / Xω = 1 / 67.4ω = 1 / 67.4*2π*33.3 = 70.9µF

Chronogramme d’étude

Exercice 5. Synthèse sur le régime alternatif sinusoïdal

Une charge industrielle monophasée est constituée des éléments suivants alimentés en 230V, 50Hz :

(1) Une salle des machines de puissance totale 30kW et de facteur de puissance 0,8 (charge globalement inductive ou RL)
(2) Un chauffage de puissance totale 20kW (charge résistive)

a) Par la méthode de Boucherot, calculer les puissances active et réactive totales

Ptotal = 30kW + 20kW = 50 kW

Qtotal = P * tanφ = 30k * tan(arccos(0.8)) = 30k * 0.75 = 22.5 kVAr

b) En déduire, la puissance apparente totale St, le facteur de puissance cosjt et le courant total absorbé It.

Stotal = √(Ptotal² + Qtotal²) = √(50k² + 22.5k²) = 54.83 kVA

Fp = P / S = 50k / 54.83k = 0.91

S = V*I ó I = S / V = 54.83k / 230 = 238.4A

On souhaite relever le facteur de puissance à 0,95, par un condensateur, que l’on désire connaître, mis en parallèle sur les bornes d’entrée.

c) Faire le schéma de l’installation corrigée

d) Calcul par la méthode de Boucherot

d1. Calculer la puissance réactive après compensation

Q’ = P * tanφ = 50*103 * 0.32 = 16.43kVAr

d2. Calculer la puissance réactive du condensateur nécessaire

Qc = Q’ – QR = 16.43k – 22.5k = 6.07kVAr

d3. En déduire la capacité du condensateur. Quelle est la valeur minimale de sa tension d’isolement.

Q = V² / X ó X = V² / Q <=> -1 / Cω = V² / Q

<=> Cω * V² = -Q

<=> C = -Q / ω*V² = 6.07k / 2π*50*230² = 365µF

e) Déterminer le courant absorbé par le circuit corrigé Itc et le comparer à It.

Conclusion quant aux pertes par effet Joule dans la ligne d’alimentation.

S’ = √(P² + Q’²) = √(50k² + 16.43k²) = 52.6kVA

I = S / V = 52.6k / 230 = 228A

228<238.4 => moins de pertes joules

Exercice 6. Synthèse sur le régime alternatif sinusoïdal monophasé (2)

On considère l’association parallèle de deux charges 1 et 2.

a) Exprimer l’impédance complexe de la branche 1 en « rectangulaires » puis en polaire.

R1 = 10Ω L = 0.1H XL = Lω = 0.1 * 2π * f = 10π

Z = 10 + 10πj = [33 ; 72]

Exprimer l’admittance complexe de la branche 1 en polaires puis en rectangulaires.

Y = 1 / 10+10πj = [1 ; 0] / [33 ; 72] = [3.03*10-2 ; -72] = 9.3*10-3 + 0.02j

Calculer I1.

I1 = U / Z = [230 ; 0] / [33 ; 72] = [6.97 ; -72]

b) Exprimer l’impédance complexe de la branche 2 en « rectangulaires » puis en polaire.

Xc = -1 / C*2π*f = -14.5

Z = 10 – 14.5j = [17 ; -55.4]

Exprimer l’admittance complexe de la branche 2 en polaires puis en rectangulaires.

Y = 1 / Z = [1 ; 0] / [17 ; -55.4] = [5.88 *10-2 ; 55.4]

Calculer I2.

I2 = U / Z = [230 ; 0] / [17 ; -55.4] = [13.5 ; -55.4]

c) Déterminer l’admittance complexe de l’association en rectangulaires, puis en polaires.

Ytotal = Y1 + Y2 = 0.0093 + 0.03 + (-0.04 + 0.02)j = 0.0393 – 0.02j = [0.044 ; -27]

En déduire l’impédance complexe de l’association en polaires et en rectangulaires.

Y = 1 / Z => Z = 1 / Y = [22.7 ; 27] = 20 + 10j

Quelle est sa réactance « équivalente »? L’association est-elle globalement inductive ou globalement capacitive ?

La charge est globalement inductive.

d) Donner le schéma équivalent série de ce montage : résistance équivalente en série avec la réactance équivalente.

Capacitif RC série cosφ = 0.98 C = 365µF

e) Donner le schéma équivalent en parallèle de ce montage. Une résistance en parallèle avec une réactance.

f) Calculer I

I = I1 + I2 = (2.12 -6.64j) + (7.44 + 10.8j) = 9.56 +4.16j = [10.4A ; 23.5°]